Всички, които подправят годишните си декларации за доходите, вече да внимават!

18:00 от Ясен Пекунов НАУКА

Демокрит публикува твърде любопитно известие за това колко често се срещат числата от 1 до 9 на първо място в даден цифров ред

Данъчните по света използват странен математически закон, за да разкриват фалшификации, разбираме от информация на Physorg.com.
Значи е въпрос на време и нашите да последват примера им...

За всичко трябва да виним Франк Бенфорд (Frank Benford), физик в "Дженеръл Илектрик", който през 1935 г., явно от скука на работното си място, открива въпросната закономерност и влиза завинаги в историята на математиката.

Законът предсказва колко често всяко число от 1 до 9 се среща като първа цифра в даден набор от данни. Оказва се, че единицата се появява най-често - в около 1/3 от случаите. Числото 2 застава начело на числови данни с честота 17.6%, а числото 3 - с честота 12.5%. Всяко следващо число се появява с по-малка честота, като най-рядко това се случва на девятката - само в 4.6% от случаите.

Число	вероятност за първа позиция
1	30.1
2	17.6
3	12.5
4	9.7
5	7.9
6	6.7
7	5.8
8	5.1
9	4.6

На закона на Бедфорд се подчиняват данни от всевъзможни и несвързани помежду си сфери на живота:

номера на дома, в който живеете,
историята на стойностите на индекса Дау Джонс,
размера на файловете в личния ви компютър,
дължината на реките по света,
броя на заглавията на първите страници на вестниците и т.н.


На странния закон на Бенфорд е посветена публикацията (How do numbers begin? (The first digit law)) в European Journal of Physics на екип учени от университета в Кордоба, Испания, начело на който стои специалиста по плазмена физика Хесус Торес (Jesus Torres).

Според Торес & Co., Бенфорд не е първият учен, който открива закона. Преди него, в далечната 1881 г., това прави прочутият астроном Саймън Нюком (Simon Newcomb). Съвременниците му обаче не обръщат особено внимание на публикацията му.

И Бенфор и Нюком достигат до откритието си еднакво куриозно. Докато прехвърляли в библиотеката книга с логаритмични таблици, те (вероятно с погнуса) забелязали, че страниците в началото на книгата са по-мръсни от тези в края й. Това означавало, че техните колеги от всевъзможни научни дисциплини, които ползвали книгата преди тях, са разглеждали предимно количества, започващи с числото 1.

За разлика от Нюком, Бенфорд не спира до това наблюдение, а прави сериозно проучване, което установява, че този "закон на първата цифра" (first digit law) е валиден за групи числа от коренно различни области като:

- брой на населението,
- нива на смъртност,
- физически и химически константи,
- статистика на бейзболните мачове,
- периодите на полуразпад на радиоактивните изотопи,
- простите числа
- числата на Фибоначи.

С други думи, законът е в сила за групи от данни, получени посредством измерване. Любителите на хазарта да не бързат да се въодушевяват, защото набори от данни, които се генерират произволно или съдържат ограничения, не се подчиняват на закона на Бенфорд. Освен за лотарийните числа, същото се отнася и за телефонните номера, цените на горивата, датите или височините и теглата на група хора, които също не са получени чрез измерване. 

Историческият обзор, направен от екипа на Торес, показва че след Бенфорд учените успяват да обяснят защо някои набори от данни се подчиняват на закона.

Въпреки  частичните успехи обаче, математиците не могат да дадат общовалидни критерии, чрез които да може да се каже предварително дали дадени данни трябва да са съобразени със закона. Торес обяснява, че особено сред икономистите има огромен интерес да се открият необходимите и достатъчни условия за валидността на закона, но той се съмнява това изобщо да е постижимо, позовавайки се на теоремите на Курт Гьодел.

Учените обаче са открили някои любопитни факти. Оказва се например, че законът все още важи и за втората цифра от даден набор от данни, но с по-малка разлика в честотите на поява на числата от 1 до 9. За третата и четвъртата цифра честотите започват да се изравняват, а по отношение на петата те се фиксират за всички на 10%.

Особено значение учените отдават на откритие от 1961 г., според което законът на Бенфорд се проявява неизменно за всички видове мащаби. Например, той важи за дължините на реките в света с еднаква сила, независимо дали те са представени в километри, мили, светлинни години или микрони.

Въпреки, че около закона на Бенфорд се стеле гъста теоретична мъгла, учените вече са му намерили великолепни практически приложения. След като установяват, че годишните декларации на фирмените счетоводства трябва да му се подчиняват, икономистите получават мощно оръжие в борбата с измамниците, тъй като е изключително трудно данните да се нагласят така, че законът на Бенфорд да е спазен.

Учените също са установили, че в подправените данни преобладават числата 5 и 6, а не 1, като си обясняват това с желанието на фалшификаторите да "скрият" данни някъде по средата.

Наскоро законът е намерил много актуално приложение в разкриването на измами и нередности при обработката на резултатите от гласуване при политически избори. По този начин учени установили аномалии при гласуването в щата Флорида по време на изборите за президент в САЩ през 2004 г., както и откровени фалшификации при избори във Венецуела (2004 г.) и Мексико (2006 г.).

Източник: Зелен Демокрит

Още информация за закона на Бенфорд на страницата на Plus Magazine
http://www.capital.bg/showblog.php?storyid=339904